matematika klas 12

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x  0 ) maka sin x x
(x <<< kecil sekali ;  setara )

l i m sin x = 1 l i m tg x = 1
x  0 x x  0 x
l i m x = 1 l i m x = 1
x  0 sin x x  0 tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x  0 bx x  0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x  0 sin bx x  0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x  0 sin bx x  0 tg bx


l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x  0 tg bx x  0 sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x  pxn + qxn-1 + ...  untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n

l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f
x   untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =  maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x  g(x) x a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3

2. l i m 3x - 2 =  (*) Uraikan
x  2x + 1 

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 =  (*) Uraikan
x  10x + 9 

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x =  - 1 - 0 =  =
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial


5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial




6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial



7. l i m (3x - 9x2 + 4x) =  -  (*) Hilangkan tanda akar
x 

l i m (3x - 9x2 + 4x ) =  3x - 9x2 + 4x  = (*) Hilangkan tanda
x   3x - 9x2 + 4x  akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x  3x + (9x2 + 4x) x  3x + 3x [1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x  3 + 3(1 + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus  Differensial


4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus  Differensial

^ Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

dy = l i m f(x + x) - f(x)
dx x  0 x

(Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali)

Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y`

RUMUS - RUMUS
1. FUNGSI ALJABAR
y = xn  dy/dx = nxn-1 2. FUNGSI TRIGONOMETRI
y = sin x  dy/dx = cos x
y = cos x  dy/dx = - sin x
y = sin x  dy/dx = sec²x
Sifat - sifat :

1. y = c (c=konstanta)  dy/dx = 0

2. y = c U(x)  dy /dx = c . U`(x)

3. y = U(x) ± V(x)  dy /dx = U`(x) ± V`(x)

4. Bentuk perkalian
y = U(x) . V(x)  dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x)

5. Bentuk pembagian
y = U(x)  dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x)
V(x) dx (V(x))²

6. Bentuk rantai
y = f(U) dan U = g(x)  dy/dx = dy/du .du/dx

y = (ax + b)n
dy/dx = n(ax+b)n-1(a)

y = sin (ax + b)
dy/dx = (a) cos (ax+b)

y = sinn (ax + b)
dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)]

Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan

1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG
(Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x)

m = f`(x1)
f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1,

Ket :
Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan)
2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI

• Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0

• Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval,
jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0
3. MENENTUKAN TITIK STASIONER

Fungsi y = f(x)  Syarat stasioner f'(x) = 0

JENIS - JENISNYA

STASIONER :

MAKSIMUM
Syarat : f`(x) = 0  x = x0; f'' (x0) < 0  Titik maksimum (xo, f(xo))

MINIMUM
Syarat : f '(x) = 0  x = x0; f'' (x0) > 0 Titik Minimum (xo, f(xo))

BELOK
Syarat : f '(x) = 0  x = x0; f'' (x0) = 0 Titik belok (xo, f(xo))

Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner

Keterangan :
1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan melihat perubahan tanda disekitar titik stasioner.
Langkah :
a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 x = xo
b. Buat garis bilangan f '(x)
c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x)
d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar
titik stasioner.

ket : f`(x) > 0 grafik naik
f`(x) > 0 grafik turun

2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung - ujung interval
4. MASALAH FISIKA

Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu)
V(t) = Kecepatan (fungsi waktu)
a(t) = Percepatan (fungsi waktu)
t = waktu

maka V = dS/dt dan a = dV/dt

5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT

DALIL L'Hospital

Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =  sehingga :

lim f(x) = 0 atau lim f(x) = , maka
xa g(x) 0 xa g(x) 

lim f(x) = lim f`(x) = , maka
xa g(x) xa g`(x) 

^ INTEGRAL
INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :
 f(x) dx = F(x) + c  (c = konstanta)
Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)
* integral tak tentu
1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
 xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n  -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
 sin x dx = - cos x + c
cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. c f(x) dx = c f(x) dx
b. ( f(x) ± g(x) ) dx = f(x) dx ± g(x) dx
c. jika f(x) dx = F(x) + c
maka f(ax) dx=1/a F(ax) + c
f(ax+b) dx=1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
(ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk  a2 - x2
misalkan x = a sin  = arc sin x/a
dx = a cos  d


 a2 - x2 dx = a  1 - sin2 (a cos  d)
= a2 cos2 d
= ½a2 (1 + cos2) d
= ½a2 ( + sin cos) + c

= ½a2 [arc sin x + x a2 - x2 ] + c
a a a

  a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x  a2 - x2 + c

2. Bentuk a2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tg
dx = a/b sec2 d

3. Bentuk b2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b sec
dx = a/b tg sec2


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I = f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = g(x) dx = ..... maka :

u du = u v - v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentukv du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

• Integral tertentu
• 1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
 c dx = c(x) = F(b) - F(a)
b b
• 2. Sifat

b b
a.  c dx = c(x) = c(b - c) c = konstanta
a a

b a
b.  f(x) dx = -  f(x) dx c = batas ditukar
a b

a
c.  f(x) dx = 0 c = batas sama
a

b a b
d.  f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx c = ( a < c < b)
a b c
Menghitung luas daerah gambar
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = f(x)  0 (grafik di atas sumbu-x) ;
sumbu -x
garis x = a ; garis x = b
b
Luas =  f(x) dx = 0
a
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
x = g(y)  0 (grafik di kanan sumbu-y)
sumbu -y ;
garis y = c ; garis y = d
d
Luas =  g(y) dy = 0
c
b
3. Untuk y = f (x) < 0, maka  f(x) dx < 0
a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :
b b
Luas = -  f(x) dx = f(x) dx 
a a
4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.
y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b
sumbu-x ;
garis x = a ; garis x = b
c b
Luas =   f(x) dx + f(x) dx
a c
5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
y= f1(x) ; y=f2(x)
garis x = a ; garis x = b
b
Luas =  [f1(x) - f2(x)] dx a
6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d
d
Luas =  [f1(x) - f2(x)] dx c
HAL KHUSUS

1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DD atau Luas = ax1 - x2  3
6a2 6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.
Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya
= 2/3 (b-a)(c)
Menhitung panjang busur
1. Panjang busur kurva y = f(x) dari a = a sampai a = b
b
S =    1 + (dy/dx)2 dx
a
2. Panjang busur kurva x = f(y) dari y = c sampai y = d
d
S =    1 + (dx/dy)2 dy
c
• Benda ruang
Kubus
rusuk kubus = a
volume = a³ panjang diagonal bidang = a2
luas = 6a² panjang diagonal ruang = a3
Tabung
r = jari-jari
t = tinggi
volume =  r² t luas = 2rt
Prisma
LA = luas alas
t = tinggi
volume = LA.t


Kerucut
r = jari-jari
t= tinggi
g = garis pelukis
volume = 1/3 r²t luas = rs
Limas
LA = luas alas
t = tinggi
volume = 1/3 LA t

Bola
r =jari-jari
volume = 4/3 r³
luas = 4r²


• limas segitiga (bidang 4)
BIDANG EMPAT TEGAK
Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncaknya tepat pada salah satu titik sudut bidang alas..
BIDANG EMPAT BERATURAN
• Bidang yang batasnya terdiri dari dari empat buah segitiga sama sisi yang kongruen
• Titik sudutnya merupakan pertemuan dari tiga buah bidang batas dan tiga buah rusuk
• Karena masing-masing bidang batas merupakan segitiga sama sisi yang kongruen, maka titik berat masing- masing bidang batas tepat berimpit dengan titik tingginya. Sehingga titik berat bidang empat beraturan juga tepat berimpit dengan titik tingginya.
AM = 2/3 AD
BM = 2/3 BE
CM = 2/3 CF
BIDANG EMPAT SIKU-SIKU
Bidang empat siku-siku adalah bidang empat dengan ketiga buah rusuknya bertemu pada satu titik yang saling tegak lurus sesamanya.


Limas segi 4 beraturan
• Bujur sangkar ABCD (segi-empat beraturan) merupakan bidang alas limas. Titik O adalah titik pusat bidang alas.
• Titik T merupakan titik puncak limas
• Segitiga TAB, TBC, TCD, TAD merupakan bidang sisi tegak
• Garis TA, TB, TC, TD merupakan rusuk-rusuk tegak
• Garis AB, BC, CD, DA, merupakan rusuk-rusuk alas
• TO tegak lurus bidang alas (ABCD)
• Titik O merupakan proyeksi titik T pada bidang alas ABCD (O pusat
bidang alas). TO merupakan tinggi limas.

Proyeksi
PROYEKSI TITIK PADA GARIS
Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari titik P terhadap garis g. Perpotongan garis tegak lurus dari titik P dengan dengan garis g yaitu titik P' , disebut proyeksi titik P pada garis g.
P = titik yang diproyeksikan (proyektum)
P' = titik hasil proyeksi
PP' = garis yang memproyeksikan
g = garis yang menerima proyeksi (garis
proyeksi) dan PP' g
PROYEKSI TITIK PADA BIDANG
Proyeksi sebuah titik P pada bidang V dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari P ke bidang V. Perpotongan garis lurus dari P dengan bidang V, yaitu titik P' disebut sebagai proyeksi titik P pada bidang V.
P = titik yang diproyeksikan (proyektum)
P' = titik hasil proyeksi
PP' = garis yang memproyeksikan (proyektor)
V = bidang yang menerima proyeksi (bidang
proyeksikan) dan PP' V)
PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
Proyeksi sebuah garis g pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat proyeksi titik-titik yang terletak pada garis g ke bidang V. Selanjutnya titik-titik proyeksi ini kita hubungkan, maka diperoleh proyeksi dari garis g, yaitu g'
Garis g = garis yang diproyeksikan
(proyektum)

Bidang v = bidang yang menerima
proyeksi (bidang proyeksi)

AA', BB', CC' = garis yang memproyeksi-
kan (proyektor)

Garis g' = proyeksi garis g pada bidang V

Bidang yang dibentuk oleh garis-garis proyektor yaitu bidang a disebut bidang proyektor.
GARIS TEGAK LURUS PADA SEBUAH BIDANG

• Sebuah garis tegak lurus bidang, jika garis tersebut tegak lurus dua
garis yang berpotongan pada bidang tersebut.
• Garis g tegak lurus bidang V, berarti garis g tegak lurus pada setiap
garis yang terletak pada bidang V.
Fakta- fakta
1. Jika garis a tegak lurus pada garis g dan h yang berpotongan maka garis a tegak lurus pada bidang yang melalui kedua garis g dan h itu.
2. Jika dari sebuah titik P yang terletak pada garis g dibuat garis-garis k, l, m,...... yang masing-masing tegak lurus pada garis g maka garis k, l, m,.... terletak pada sebuah bidang datar yang tegak lurus pada garis g.
3. Jika salah satu dari dua garis (g atau h) yang sejajar, berdiri tegak lurus pada bidang a, maka garis yang lain (g tau h) akan tegak lurus pada bidang a
4. Jika garis g dan h masing-masing tegak lurus pada bidang a, maka garis g dan h itu adalah sejajar.
5. Melalui sebuah titik P yang terletak pada garis g hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada garis g.
6. Melalui sebuah titik P diluar garis g, hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada garis g.
7. Melalui sebuah titik P pada sebuah bidang a, hanya dapat ditarik sebuah garis g yang tegak lurus pada bidang a
Garis dan bidang
aris Terletak Pada Bidang


Garis dengan bidang mempunyai dua titik persekutuan

Garis menembus bidang


Garis dengan bidang mempunyai satu titik persekutuan

Garis sejajar bidang


Garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan

Jarak
Titik ke Garis

Panjang garis tegak lurus dari titik ke garis tersebut

Titik ke Bidang

Panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang tersebut
Sudut
Antara Dua Garis Yang Bersilangan Antara Dua Bidang Sudut antara garis m dan n yang bersilangan adalah sudut yang dibentuk antara garis m' dan n' yang ditarik melalui sebuah titik p di dalam ruang, searah dan sejajar dengan m dan n. Sudut antara dua garis yang terletak pada masing-masing bidang tersebut. Dimana garis-garis ini tegak lurus pada garis potong dua bidang (garis tumpuan) itu; dan berpotongan di garis potong kedua bidang. Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang itu.
Rumus-rumus yg sering digunakan
Segitiga Siku-Siku Segitiga Sembarang Dalil Phitagoras
c² = a² + b²
sin a = a/c
cos a = b/c
tg a = a/b
luas = 1/2 ab Dalil Cos
c² = a² + b² - 2ab cos
luas = 1/2 a.b sin rumus perbandingan perbandingan luas
BC : DE = AB : AD = AC : AE
(AB)(CE) = (BC)(AD)